🧲 전기자기학 암기형+쉬운계산 총정리

투자율 μ는 "이 물질이 자기장을 얼마나 잘 통과시키나"를 나타내는 값이에요. 기준은 공기(거의 진공) μ₀입니다. 비투자율 μ_s = μ/μ₀로 보면, 반자성체는 μ_s가 1보다 살짝 작고(예: 0.99999), 상자성체는 1보다 살짝 크고(1.00001), 강자성체(철)는 수백~수천으로 훨씬 큽니다. 반자성체가 공기보다 작긴 하지만 그 차이가 아주 미세해서, 부등호도 "훨씬(≫,≪)"이 아니라 "약간(<,>)"을 써야 해요.

용어부터 풀어볼게요. 자속밀도 B는 물질 안을 실제로 지나가는 자기장의 총량이고, 자화의 세기 J는 물질 자신이 자석처럼 변해서 만들어낸 몫이에요. 둘의 관계가 B = μ₀H + J 입니다(μ₀H는 외부에서 걸어준 자기장 몫). 이걸 J에 대해 정리하면 J = B − μ₀H. 강자성체는 자화가 워낙 강해서 B의 대부분을 J가 차지하고, 외부 몫 μ₀H는 상대적으로 작아요. 그래서 J는 B와 거의 같지만 μ₀H만큼은 반드시 작습니다. 이게 "약간 작다"의 의미예요.

초전도체는 어떤 임계온도 아래로 식히면 두 가지 신기한 성질을 보여요. (1) 저항이 완전히 0이 돼서 전류를 흘려도 열(저항열)이 안 생기고 영원히 흐릅니다(①②가 맞는 이유). (2) 마이스너 효과: 외부 자기장을 내부에서 완전히 밀어내요. 그래서 내부 자기장은 0이 되고(③이 틀린 이유), 자석 위에 올리면 밀어내는 힘으로 공중에 둥둥 뜹니다(④가 맞는 이유 — 자기부상). ③만 "내부에 자기장이 형성된다"고 반대로 말하고 있어요.

자성체를 쌍극자(작은 자석)의 배열 그림으로 구분하면 외우기 쉬워요. 강자성체: 작은 자석들이 ↑↑↑↑ 같은 방향으로 정렬(철). 반강자성체: ↑↓↑↓ 크기 같고 방향 반대로 번갈아 정렬 → 서로 상쇄돼 전체 자성이 약함. 페리자성체: ↑↓↑↓인데 크기가 달라서 일부만 상쇄(페라이트). 상자성체: 평소엔 제멋대로지만 외부 자기장에 살짝 정렬. 문제의 "크기 같고 방향 반대"는 ↑↓↑↓ 그림 그대로라 반강자성체입니다.

자화의 세기 J는 "단위 부피당 자기모멘트"라는 뜻이에요. 그러니 전체 자기모멘트 M = J × (전체 부피)가 됩니다. 구의 부피는 V = (4/3)πa³(중학교 때 배운 그 공식). 따라서 M = J·(4/3)πa³. 단위로 확인해도 [Wb/㎡]×[㎥] = [Wb·m]로 자기모멘트 단위와 딱 맞아요. 투자율 μ는 이 계산에 안 쓰이는 함정용 정보예요(자화 J가 이미 주어졌으니 μ 불필요).

히스테리시스 곡선은 자화력 H(가로축)와 자속밀도 B(세로축)의 관계를 그린 고리 모양 곡선이에요. '히스테리시스(hysteresis)'는 그리스어로 '뒤처짐'이라는 뜻인데, 자성체가 과거에 어떻게 자화됐는지(이력)에 따라 같은 H에서도 B가 달라지는 현상을 말해요. ① Y축=자속밀도 B(맞음), ② 자화력 0일 때 남는 자기=잔류자기(맞음), ④ 잔류자기를 없애려면 반대 방향 자화력(보자력)을 줘야 함(맞음). ③만 "경력과 무관하게 항상 같다"고 했는데, 이건 히스테리시스의 정의 자체를 부정하는 거라 틀려요.

자화 세기 J는 "단위 부피당 자기 모멘트"라, 전체 모멘트 M = J × 부피예요. 구 부피 V = (4/3)πa³이니 M = J·(4/3)πa³. 단위로도 [Wb/㎡]×[㎥]=[Wb·m]로 맞아요. 투자율 μ는 J가 이미 주어졌으니 안 쓰는 미끼 정보예요. 2023년 2회 18번과 글자까지 같은 문제라, 한 번 익히면 두 회차를 같이 잡습니다.

히스테리시스 곡선은 H(가로축)–B(세로축)로 그린 고리예요(3회 14번에서 본 그 곡선). 자성체를 한 바퀴 자화시켰다 되돌리면, 출발점으로 정확히 안 돌아오고 고리를 그리며 에너지를 열로 잃어요. 그 잃은 에너지가 바로 고리가 둘러싼 면적이에요(B와 H를 곱해 적분한 값 = 면적 = 에너지 밀도). 그래서 변압기·모터의 철심은 이 면적이 좁은 재료(연철)를 써서 손실을 줄여요. ①보자력·②잔류자기는 곡선의 특정 점일 뿐, 손실 전체는 면적이에요.

영구자석의 성질을 정리해요. ① 영구 보존: 한 번 자화되면 유지(맞음). ② 보자력 큼: 외부에서 반대 자계를 줘도 잘 안 지워짐 → 강한 자석(맞음). ③ 잔류자기 큼: 자화력을 없애도 많이 남음 → 강한 자석(맞음). ④ 폐회로: 자석을 고리로 이으면 자속이 내부 폐회로로만 흘러 바깥에 자기력이 안 생겨요 → 자석으로 못 씀(틀림). 18번 히스테리시스에서 본 보자력·잔류자기가 영구자석의 강도를 결정한다는 게 핵심이에요. (1회 18번 히스테리시스 손실과 같은 곡선 개념.)

초전도체의 두 성질: 저항 0(①② — 열 안 남, 전류 영원히 흐름), 마이스너 효과(외부 자기장을 내부에서 완전히 밀어냄 → 내부 자기장 0, 자석 위에 뜸 = 자기부상 ④). ③만 "내부에 자기장이 형성된다"고 반대로 말해 틀려요. 2023년 2회 6번과 동일 문제라, 한 번 익히면 두 회차를 같이 잡습니다.

비투자율 μ_r는 "진공 대비 얼마나 자기장을 잘 통하나"예요(진공 = 1 기준). 반자성체: 자기장을 밀어내 μ_r < 1(예: 0.99999). 상자성체: 살짝 끌어 μ_r > 1(예: 1.00001). 강자성체: μ_r ≫ 1(수백~수천). 반자성은 1보다 살짝 작은 게 핵심. 2023년 1회 2번에서 "반자성체 투자율 < 공기"를 봤는데, 그걸 비투자율로 바꾸면 μ_r < 1로 같은 얘기예요.

감자력(반자계)은 자성체가 자화될 때 양 끝에 생긴 N·S극이 내부에 만드는 "거꾸로 가는 자계"예요. 자극이 멀리 떨어져 있거나(가늘고 긴 막대) 끝이 뾰족할수록 감자력이 작고, 자극이 가깝거나(굵고 짧은 막대 ④) 펑퍼짐하면 커요. 환상 철심은 도넛처럼 이어져 끝(자극)이 아예 없어요 → 감자력 = 0. 그래서 변압기 철심을 환상으로 만들면 자속이 새지 않고 효율적이에요. ①구·③타원·④막대는 모두 끝(자극)이 있어 감자력이 0이 아니에요.

자화율 χ는 "자석을 갖다 대면 얼마나, 어느 방향으로 반응하나"를 나타내요. χ>0(양수)면 외부 자기장과 같은 방향으로 자화돼 끌려가고(상자성), χ<0(음수)면 반대로 자화돼 밀려나요(반자성). 비투자율과의 관계는 μ_r = 1+χ. 상자성은 χ>0이라 μ_r>1(2회 16번 반자성 μ_r<1의 반대), 반자성은 χ<0이라 μ_r<1. 크기 자체는 둘 다 아주 작아요. "상자성 = χ>0(양수면 충분)", χ=1일 필요는 없어요.

① 영구 보존(맞음), ② 보자력 큼 = 잘 안 지워짐 → 강한 자석(맞음), ③ 잔류자기 큼 → 강한 자석(맞음), ④ 폐회로 = 자속이 내부로만 흘러 바깥 자기력 없음 → 자석 역할 못 함(틀림). 보자력·잔류자기는 히스테리시스 곡선(2024년 3회 18번)의 두 절편으로, 영구자석의 강도를 결정해요. 2024년 2회 3번과 완전히 같은 문제라 세트로 익히면 두 회차를 같이 잡습니다.

자성체 분류(μ_r = 1+χ 관계): 역(반)자성체 χ<0, μ_r<1(자기장 밀어냄), 상자성체 χ>0, μ_r>1(살짝 끌림), 강자성체 χ≫0, μ_r≫1. 보기 검토: ① χ>0이면 상자성(역자성 아님 — 틀림), ② χ<0이면 역자성(상자성 아님 — 틀림), ③ μ_r>1이면 상자성(비자성 아님 — 틀림), ④ μ_r<1이면 역자성(맞음). 2024년 2회 16번(반자성 μ_r<1), 2024년 3회 8번(상자성 χ>0)에서 본 개념의 종합이에요. "역자성=μ_r<1, χ<0"만 잡으면 ④가 보여요.

히스테리시스 곡선은 H(가로)–B(세로) 그래프예요(2024년 3회 18번에서 본 그 곡선). 기울기 = (세로 변화)/(가로 변화) = ΔB/ΔH. B = μH 관계에서 B/H = μ(투자율). 그래서 곡선의 기울기가 투자율이에요. ② 유전율은 전기(D–E) 쪽, ③ 자화율 χ는 M=χH(자화 M과 H의 비), ④ 감자율은 다른 개념. 자기 곡선(B–H)의 기울기는 투자율(μ)이라는 게 핵심. B=μH 한 줄만 떠올리면 바로 나와요.

자화를 한 바퀴 반복하면 B–H 곡선이 고리를 그리며 에너지를 열로 잃는데, 그 양이 고리가 감싼 면적이에요(2024년 1회 18번). 보자력·잔류자기는 곡선의 특정 점일 뿐 손실 전체는 면적. 변압기 철심은 이 면적이 좁은 재료를 써서 손실을 줄여요.

자화 세기 J는 단위 부피당 자기 모멘트라, M = J × 부피 = J·(4/3)πa³. 단위 [Wb/㎡]×[㎥]=[Wb·m] 일치. 투자율 μ는 미끼. 2023년 2회 18번·2024년 1회 15번과 같은 문제.

χ>0이면 상자성(외부 자기장과 같은 방향 자화), χ<0이면 반(역)자성(밀어냄). μ_r=1+χ. 상자성은 χ>0이라 μ_r>1. "양수면 충분(χ>0)"이지 χ>1(④)일 필요는 없어요(상자성 χ는 아주 작은 양수). 2024년 3회 8번·2025년 3회 11번과 같은 개념.

∇×(회전, rot)는 "그 지점에서 장이 얼마나 소용돌이치는가"를 재는 연산이에요. 어떤 장의 회전이 0이면 그 장은 "퍼텐셜(위치에너지 같은 값)"로 깔끔하게 표현돼서, 경로에 상관없이 시작점·끝점만으로 일이 정해집니다. 이런 성질을 보존적이라고 불러요. 자계 H는 전류 j가 흐르는 곳에서는 ∇×H = j 라 소용돌이가 생기지만(보존적이지 않음), 전류가 없는 영역에서는 ∇×H = 0 이 되어 보존적이 됩니다. 한편 ∇·B = 0(①)은 항상 성립하는 식인데(자기홀극이 없다는 뜻), 이건 "보존적"과는 다른 성질(자속이 새지 않음)을 말하는 거라 답이 아니에요.

네 법칙을 한 줄씩 구분해 둘게요. 가우스: 폐곡면을 통과하는 전속 = 내부 전하(∮D·dS = Q). 쿨롱: 두 점전하 사이에 작용하는 힘(F = Q₁Q₂/4πε₀r²) — '힘'이 키워드. 푸아송: 전하가 있는 공간의 전위 분포(∇²V = −ρ/ε). 라플라스: 전하가 없는 공간의 전위 분포(∇²V = 0). 문제의 키워드 "폐곡면 + 전속 + 내부 전하"가 보이면 망설임 없이 가우스입니다.

이 식은 전하 보존 법칙(연속방정식)이에요. ∇·J는 어떤 점에서 전류가 사방으로 "빠져나가는 정도(발산)"이고, ρ는 그 점의 전하밀도예요. 식 ∇·J = −∂ρ/∂t의 뜻은 "전류가 빠져나가는 만큼 그 자리의 전하가 줄어든다"는 거예요. 즉 오른쪽은 전하밀도의 감소율(−가 붙음). ②가 "증가 비율"이라 한 건 부호를 무시한 거라 틀려요. ③ 정상전류(시간에 안 변함)면 ∂ρ/∂t=0이라 ∇·J=0(폐곡면 통과 알짜 전류 0)으로 맞고, ④도 발산의 정의로 맞습니다.

자기장의 기본 성질 중 하나가 ∇·B = 0(자기홀극 없음)이에요. 이걸 적분형으로 쓰면 ∮B·n dS = 0 — 어떤 닫힌 면(폐곡면)을 잡아도 들어오는 자속과 나가는 자속이 같아서 알짜가 0이라는 뜻이에요. 경계면에서도 자속의 법선 성분(B·n)이 연속이라, 위로 들어온 자속이 아래로 그대로 빠져나갑니다. ①은 dl(선적분)이라 틀리고, ③은 법선 n 표기가 빠졌으며, ④는 sinθ가 붙어 잘못된 형태예요.

콘덴서에 흐르는 전류(변위 전류)는 i = C·dv/dt예요(전압 변화율에 비례). v(t) = V_m sinωt를 미분하면 dv/dt = ωV_m cosωt (sin 미분 = cos, 안쪽 ω가 앞으로). 따라서 i = C·ωV_m cosωt = ωCV_m cosωt. 핵심 두 가지: (1) sin을 미분하면 cos으로 바뀜(②번 sin은 미분 안 한 함정), (2) 미분에서 ω가 앞으로 튀어나옴. 부호는 sin→cos 미분이라 +예요(③번 −는 cos→−sin일 때).

변위 전류는 맥스웰이 추가한 개념으로, 정의가 i_d = ∂D/∂t(전속밀도의 시간 변화율)예요. 실제 전하가 이동하는 게 아닌데도 자계를 만들어내서, 콘덴서 사이 빈 공간에서도 전자파가 이어지게 해주죠. 보기 검토: ① 굴절률과 직접 비례 아님(틀림), ② 변위 전류는 유전율 ε에 관계되지 투자율 μ가 아님(틀림), ③ 자계 발생시킴 — 앙페르–맥스웰 법칙으로 맞음, ④ '공간적' 변화가 아니라 '시간적' 변화(∂D/∂t)라 틀림. 핵심은 ③의 "자계 발생"과 ④의 함정(시간 vs 공간).

맥스웰 4대 방정식을 정리해 둘게요. ① rot H = i + ∂D/∂t(앙페르–맥스웰: 전류와 변위전류가 자계를 만듦), ③ div D = ρ(가우스 전기: 전하가 전속의 원천), ④ rot E = −∂B/∂t(패러데이: 자속 변화가 전계를 만듦), 그리고 div B = 0(가우스 자기: 자기홀극 없음). ②가 div B = φ로 0이 아니라고 했으니 이게 틀린 식이에요. 자기력선은 N극에서 나와 반드시 S극으로 돌아가는 닫힌 고리라, 어떤 점에서도 솟아나거나 사라지지 않습니다(발산=0). (3회 17번 같은 유형의 맥스웰 틀린것 찾기예요.)

grad(gradient, 기울기)는 어떤 양이 가장 빠르게 증가하는 방향을 가리키는 벡터예요. 전위 V의 grad는 전위가 높아지는 쪽을 향하죠. 그런데 전계 E는 전위가 낮아지는 쪽(+에서 −로)으로 향하니, 방향이 반대예요. 그래서 E = −grad V. 마이너스가 "높은 곳 → 낮은 곳"을 만들어줍니다. div(발산)는 스칼라에 적용할 수 없으니 ②④는 애초에 형식이 틀렸어요(div는 벡터에만).

네 식을 정리해요. ① 가우스: div D = ρ(전하가 전속의 원천). ② 포아송: ∇²V = −ρ/ε(전하가 있는 곳의 전위 분포 — 마이너스가 핵심!). ③ 라플라스: ∇²V = 0(전하가 없는 곳의 전위). ④ 발산 정리: 폐곡면 적분 = 부피 적분(수학 정리). 포아송 식의 마이너스는 E=−grad V(2번 카드)에서 마이너스가 따라온 결과예요. div E = ρ/ε이고 E=−grad V이니 div(−grad V) = ρ/ε → −∇²V = ρ/ε → ∇²V = −ρ/ε. ②가 이 마이너스를 빠뜨렸습니다.

우리가 아는 옴의 법칙 V=IR를 "한 점에서의 양"으로 바꾼 게 미분형이에요. J = σE. 여기서 J는 단위 면적당 전류(전류밀도), E는 전계, σ(도전율)는 "얼마나 잘 통하나"를 나타내요. 도전율 σ와 고유저항 ρ는 서로 역수 관계(σ=1/ρ)라, J=σE = E/ρ로도 쓸 수 있어요. ②는 σ를 분모에 잘못 뒀고(σ가 크면 전류가 커져야 하니 분자), ③은 ρ(저항)와 곱해 방향이 반대, ④는 둘을 곱해 형식이 틀렸어요.

∇·B = 0(자기홀극 없음, 1번 카드 참조)을 적분형으로 쓴 게 ∮B·n dS = 0이에요. 어떤 폐곡면이든 들어온 자속 = 나간 자속이라 알짜가 0. 경계면에서도 자속의 법선 성분이 연속이라 위로 들어온 게 아래로 나가요. ①dl은 선적분이라 틀리고, ③은 법선 n 표기 누락, ④sinθ는 군더더기. 이 문제는 여러 회차에 반복 출제되니(2023-3, 2024-3) 통째로 외워두면 좋아요.

전하 보존(연속방정식) ∇·J = −∂ρ/∂t. ∇·J는 전류가 빠져나가는 정도(발산), ρ는 전하밀도. "전류가 빠져나가는 만큼 그 자리 전하가 줄어든다"는 뜻이라 오른쪽은 감소율(−). ②가 "증가"라 한 게 부호 오류로 틀려요. ③ 정상전류면 ∂ρ/∂t=0이라 ∇·J=0(맞음), ① − = 유출(맞음), ④ 발산 정의(맞음). 2023년 2회 14번과 동일 문제예요.

∇·B = 0(17번에서 본 그 성질)을 적분형으로 쓴 게 ∮B·n dS = 0이에요. 폐곡면 어디든 들어온 자속 = 나간 자속이라 알짜 0. ①dl(선적분) 틀림, ③법선 n 누락, ④sinθ 군더더기. 2023년 3회 2번·2024년 1회 17번과 똑같은 문제라 여러 회차에 반복돼요 — 통째로 외워두면 매번 득점입니다.

맥스웰 4대 방정식: ① rot H = i+∂D/∂t(앙페르–맥스웰), ② rot E = −∂B/∂t(패러데이), ③ div D = ρ(가우스 전기), 그리고 div B = 0(가우스 자기). ④가 div B = i로 0이 아니라 했으니 틀린 식이에요. 자기력선은 닫힌 고리라 솟거나 사라지지 않아 발산이 0. 1회 1번(거기선 div B=φ가 가짜)과 같은 유형이라, "div B는 무조건 0"만 기억하면 두 회차를 다 잡아요.

가우스 법칙 ∮D·dS = Q_둘러싼은 "닫힌 면을 통과하는 전속 = 내부 전하"라는 뜻이에요. 대칭성(구·원통·무한평면)이 있으면 적분이 간단해져 전계를 바로 구할 수 있어요(이 회차 5번 무한원주, 12번 무한판이 다 가우스로 풀려요). 점전하는 쿨롱 법칙으로 충분하지만, 분포 전하는 일일이 더하기 어려우니 가우스 정리가 강력해요. ③ 라플라스(전위 분포, 전하 없는 곳), ④ 스토크스(회전↔선적분 변환), ① 렌츠(유도 방향)는 다른 용도예요.

물체에 교류를 걸면 두 종류 전류가 흘러요. 전도전류 J_c = σE(실제 전하 이동), 변위전류 J_d = ∂D/∂t = ωεE(전속밀도 변화). 두 크기가 같아지는 조건: σE = ωεE → σ = ωε → ω = σ/ε. 주파수로 바꾸면 ω=2πf이니 f = ω/(2π) = σ/(2πε). 이 주파수가 "도체처럼 행동하느냐(저주파, 전도전류 우세) vs 유전체처럼 행동하느냐(고주파, 변위전류 우세)"의 경계예요. 핵심은 σ=ωε 조건과 ω=2πf 변환이에요.

맥스웰 4대 방정식: ② div D = ρ(가우스 전기), ③ rot E = −∂B/∂t(패러데이), ④ rot H = i+∂D/∂t(앙페르–맥스웰), 그리고 div B = 0(가우스 자기). ①이 div B = φ로 0이 아니라 했으니 틀린 식이에요. 자기력선은 닫힌 고리라 어디서도 솟거나 사라지지 않아 발산이 0. 2024년 1회 1번(div B=φ), 2024년 3회 17번(div B=i)과 같은 단골 — "div B는 무조건 0"만 기억하면 다 잡아요.

포아송: ∇²V = −ρ/ε(전하 있는 곳, 마이너스 핵심), 라플라스: ∇²V = 0(전하 없는 곳). E=−grad V의 마이너스가 따라온 결과예요. ②가 그 마이너스를 빠뜨려 틀렸어요. 2024년 1회 11번과 같은 문제.

∇·B = 0을 적분형으로 쓴 게 ∮B·n dS = 0. 면적분(dS)·법선(B·n)이 핵심. ①dl(선적분) 틀림, ③법선 n 누락, ④sinθ 군더더기. 2024년 1·3회, 2026년 2회에도 똑같이 나오는 최다 단골 — 통째로 외워두면 매번 득점이에요.

맥스웰 4대 방정식: ② div D=ρ, ③ rot E=−∂B/∂t, ④ rot H=i+∂D/∂t, 그리고 div B=0. ①이 div B=φ로 0이 아니라 했으니 틀림. 자기력선은 닫힌 고리라 발산 0. 2025년 3회 4번·2024년 3회 17번과 같은 단골 — "div B는 무조건 0".

∇·B=0의 적분형 ∮B·n dS=0. 면적분(dS)·법선(B·n) 핵심. ①dl(선적분) 틀림, ③법선 n 누락, ④sinθ 군더더기. 2024년 1·3회, 2026년 1회에도 똑같이 나온 최다 출제 단골 — 11회차 중 4번 나왔어요. 통째로 외우면 매번 득점이에요.

전기력선의 약속을 정리해요. ① 방향: +전하에서 나와 −전하로 들어감(①이 거꾸로 말해 틀림). ② 개수: +1C에서 1/ε₀개의 전기력선이 나옴(가우스 법칙, 맞음). ③ 전위: 전위 높은 곳(+)→낮은 곳(−)으로 향함(맞음, E=−grad V와 일치). ④ 방향·밀도: 전기력선 방향=전계 방향, 밀도=전계 크기(맞음, 정의). ①만 "−에서 시작해 +에서 끝난다"고 반대로 말했어요. 물은 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐르듯, 전기력선도 +(높은 전위)에서 −(낮은 전위)로 향합니다.

정전계와 정자계는 여러 양이 짝으로 대응해요. ③ ½CV² ↔ ½LI²: 콘덴서에 저장된 전기 에너지 ↔ 코일에 저장된 자기 에너지, C↔L·V↔I로 정확히 대응(가장 명확한 쌍). 나머지가 왜 틀린지: ① div D = ρ_v는 맞지만, 대응되는 자기 식은 div B = 0이에요(자기홀극 없음) — ρ_m(가상 자하)은 실제로 0이라 대응이 부적절. ② 벡터포텐셜 식은 ∇²A = −μ₀i인데 −i/μ₀라 계수가 틀림. ④ 자기 쿨롱 상수는 6.33×10⁴(=1/4πμ₀)인데 6.33×10⁻⁴라 지수가 틀림. 그래서 가장 정확한 대응은 ③ 에너지 식이에요.

전기력선의 성질: ① 방향 = 전계 방향(맞음), ② 전위 높은 곳→낮은 곳(맞음, 2024년 3회 18번 참조), ④ 등전위면과 직교(맞음 — 전계는 등전위면에 수직), ③ 폐곡선이 된다(틀림). 전기력선은 +에서 나와 −로 들어가는 열린 곡선이라 시작·끝이 있어요. 반면 자기력선은 N→S→(내부)→N으로 닫힌 고리(폐곡선)를 이뤄요(div B=0). 전기와 자기의 결정적 차이 — 전기력선은 열린 곡선, 자기력선은 닫힌 곡선. ③이 이걸 거꾸로 말해 틀려요.

전기력선의 성질 점검: ① 등전위면과 직교(평행 아님 — ①틀림), ② 도체 표면과 직교(맞음 — 표면이 등전위면이라 수직 출입), ③ 도체 내부엔 전계 없음(정전 상태에서 도체 내부 전계=0, 전기력선 없음 — ③틀림), ④ 전위 높은 곳→낮은 곳(반대로 말함 — ④틀림, 2024년 3회 18번·2025년 2회 8번 참조). 핵심은 "전기력선 ⊥ 등전위면, 도체 표면에 직교, 도체 내부엔 없음, +→−". ②만 맞아요. 도체가 정전 평형이면 내부 전계 0이라 전기력선이 표면에서 멈추고 수직으로 나가요.

영상법(image method)이라는 기법을 써요. 무한 평면도체 앞에 +Q가 있으면, 도체 반대편 같은 거리에 −Q(영상전하)가 있다고 가정하면 도체 표면의 전기장을 쉽게 구할 수 있어요. 표면 전하밀도는 점전하 바로 아래에서 가장 크고, 멀어질수록 작아집니다. 유도 결과가 σ = −Qa/[2π(a²+r²)^(3/2)] 꼴인데, 점전하 바로 아래(r=0)에서 최대가 되어 σ_max = −Q/(2πa²). 부호가 −인 건 +Q가 도체에 반대 부호(−) 전하를 끌어모으기 때문이에요.

단계별로 보기

영상전하 설정: 도체 뒤쪽 거리 a에 −Q를 둔 것과 같다고 본다.

표면 임의의 점(중심에서 r 떨어진 곳)의 전계는 표면에 수직이고, 기하적으로 E = Qa/[2πε₀(a²+r²)^(3/2)].

표면 전하밀도 σ = −ε₀E = −Qa/[2π(a²+r²)^(3/2)] (부호 −는 끌려온 반대전하).

바로 아래 r=0에서 최대: σ_max = −Qa/(2π·a³) = −Q/(2πa²).

선전하(직선도체)가 만드는 전계는 E = ρ/(2πε₀d)예요(점전하의 1/r²과 달리 1/d로 약해짐). 영상법으로 평면 뒤 거리 r에 −ρ가 있다고 보면, 실제 선전하와 영상 선전하 사이 거리는 2r입니다. 한쪽 선전하가 다른 쪽 위치에 만드는 전계 E = ρ/(2πε₀·2r). 여기에 선전하밀도 ρ를 곱하면 단위길이당 힘 f = ρE = ρ²/(2πε₀·2r) = ρ²/(4πε₀r). 끌어당기는 힘(인력)이에요.

단계별로 보기

영상 선전하 −ρ를 평면 뒤 거리 r에 배치 → 실제와 영상 사이 거리 = 2r.

선전하가 거리 d에 만드는 전계: E = ρ/(2πε₀d).

d = 2r 대입: E = ρ/(2πε₀·2r) = ρ/(4πε₀r).

단위길이당 힘 f = ρ·E = ρ²/(4πε₀r).

1회 14번(무한평면 앞 선전하)과 같은 원리예요. 대지(도체 평면)를 거울로 보면, 지면 아래 거리 h에 부호 반대인 영상 선전하 −λ가 생깁니다. 실제 선전하와 영상 사이 거리는 2h. 선전하가 만드는 전계는 거리 d에 반비례(E ∝ 1/d)하고, 단위길이당 힘 f = λ²/(2πε₀·2h) = λ²/(4πε₀h)이라 h에 반비례해요. 점전하라면 거리 제곱(1/h²)이지만 선전하는 거리 1제곱(1/h)이라는 게 핵심 차이예요.

정전에너지는 W = ½∫ρV dv예요(각 위치의 전하밀도 ρ와 전위 V를 곱해 전부 더하고, 이중 계산을 막으려 ½). 여기서 가우스 법칙의 미분형 div D = ρ를 씁니다(전속밀도의 발산이 곧 전하밀도). ρ를 div D로 바꾸면 W = ½∫V·divD dv. 핵심 포인트 두 가지: (1) V(전위)와 곱한다 — ρ가 아니라(③ 함정), (2) div는 D(전속밀도)에 붙는다 — E가 아니라(④ 함정). div D = ρ만 알면 ②가 보여요.

전하 분포 모양에 따라 거리 의존성이 완전히 달라요. 점전하: E ∝ 1/r²(거리 제곱 반비례). 선전하: E ∝ 1/r(거리 반비례). 무한 평면(면전하): E = σ/(2ε₀)로 거리와 무관하게 일정! 면이 무한히 넓으면 아무리 멀어져도 똑같은 무한 면이 보여서 전계가 안 변해요. 그래서 보기 중 R이 들어간 ③④는 함정이에요. (※ 표준 출제는 면전하 시트 기준 σ/2ε₀로 봅니다.)

가우스 법칙을 원통면에 적용하면, 무한 직선 선전하의 전계 E = λ/(2πε₀r)가 나와요. 거리 r에 반비례(1제곱)하는 게 핵심 — 점전하는 1/r²(거리 제곱), 선전하는 1/r(거리 1제곱), 무한 평면은 거리 무관이었죠(2023년 3회 15번 참조). 전하 분포 모양에 따라 거리 의존성이 달라지는 패턴을 기억하면 돼요. 2π(원통 둘레 관련)가 분모에 오고, ε₀와 r이 함께 들어갑니다.

전하 분포별 거리 의존성: 점전하 1/r², 선전하 1/r, 무한 평면은 거리 무관(σ/2ε₀). 무한히 넓은 면은 아무리 멀어져도 똑같이 무한 면이 보여서 전계가 안 변해요. 그래서 R이 들어간 ③④는 함정. 2023년 3회 15번과 글자까지 같은 문제예요. (※ 표준 출제는 면전하 시트 기준 σ/2ε₀로 봅니다.)

대지(도체 평면)를 거울로 보면 지면 아래 거리 h에 영상 선전하 −λ가 생겨요(거리 2h). 선전하 힘은 f = λ²/(2πε₀·2h) = λ²/(4πε₀h)이라 h에 반비례. 점전하라면 거리 제곱(1/h²)이지만 선전하는 거리 1제곱(1/h)이에요. 2023년 2회 1번과 글자까지 같고, 2024년 2회 18번 무한직선 전계(λ/2πε₀r, 1/r)와도 같은 "선전하 = 1제곱" 패턴이에요.

grad V = (∂V/∂x, ∂V/∂y). V = (x²+y²)⁻¹을 미분: ∂V/∂x = −1·(x²+y²)⁻²·2x = −2x/(x²+y²)². ∂V/∂y = −2y/(x²+y²)². 두 성분을 벡터로 합치면 grad V = −(2x î + 2y ĵ)/(x²+y²)². 핵심은 (1) x·y 둘 다 편미분해 두 성분이 나온다는 것(③④는 한 성분만이라 틀림), (2) 분수 미분(−n승 규칙)에서 −와 2가 나오는 것. 2회 6번 전위함수 편미분과 같은 방식인데, 여기선 점 대입 없이 식 자체를 묻고 분자 계수도 안 곱해 🟢로 분류했어요.

grad V = (∂V/∂x, ∂V/∂y). V = (x²+y²)⁻¹ 미분: ∂V/∂x = −1·(x²+y²)⁻²·2x = −2x/(x²+y²)², ∂V/∂y = −2y/(x²+y²)². 합치면 −(2xî+2yĵ)/(x²+y²)². 핵심: (1) x·y 둘 다 편미분해 두 성분(③④는 한 성분만이라 틀림), (2) 분수 미분(−n승 규칙)에서 −와 2가 나옴(①은 2 누락). 2024년 3회 19번과 글자까지 같은 문제예요.

가우스 법칙을 원통면에 적용하면, 외부(r>a)에서는 원주 안 전하 전체(단위 길이당 λ)가 축에 집중된 선전하처럼 작용해 E = λ/(2πε₀r)예요. 거리 r에 반비례(1제곱), 분모에 2π(원통 대칭). 무한 직선 선전하(2024년 2회 18번)와 똑같은 형태 — 외부에서는 원주든 직선이든 구분이 안 돼요. 반지름 a는 외부 전계엔 안 들어가요(내부였다면 r에 비례). r이 분모 1제곱인 게 핵심이에요.

고리 위 각 전하 조각이 만드는 전계를 축 위 점에서 더하면, 대칭성 때문에 축에 수직인 성분은 서로 상쇄되고 축 방향 성분만 남아요. 그 결과 E = aλ_l·x/[2ε₀(a²+x²)^(3/2)]. 핵심은 분모의 (a²+x²)^(3/2)(3/2 제곱) — 거리 요소가 (a²+x²)^(1/2)이고 그 세제곱 형태로 들어가요. 분자에 x가 있어 중심(x=0)에선 전계가 0(대칭으로 완전 상쇄). 총 전하 Q=2πa·λ_l을 쓰는 점전하 축상 공식과 같은 구조예요. 유도는 복잡하지만 (a²+x²)^(3/2) 형태만 기억하면 골라져요.

무한 평면 전하의 전계 E = σ/(2ε)는 거리와 무관해요(여러 회차에서 반복). 무한히 넓은 판은 아무리 멀어져도 똑같은 무한 판으로 보여서 전계가 안 변하죠. ① 매질(ε)에 따라 변함(맞음 — 분모에 ε), ③ 판에 수직 방향(맞음 — 대칭성), ④ ρ_s에 비례(맞음 — 분자에 σ). ②만 "거리 반비례"라 했는데, 무한 판은 거리 무관이라 틀려요. 점전하(1/r²)·선전하(1/r)와 달리 무한 판은 거리 의존이 없다는 게 핵심이에요.

원형 도선 축상 점(z=h)에서, 고리 위 모든 점까지의 거리가 똑같이 r = √(a²+h²)예요(대칭). 전위는 스칼라라 방향 상쇄 없이 그냥 더하면 됨: V = (1/4πε₀)·(총전하)/r = (1/4πε₀)·(2πaλ)/√(a²+h²) = λa/[2ε₀√(a²+h²)]. (2πaλ/4πε₀ = aλ/2ε₀로 정리.) 핵심은 (1) 분모에 √(a²+h²)(거리 1제곱, 전위니까), (2) 분자에 a(총전하 2πaλ에서 옴). 전계(11번 2025-1회류)는 분모가 (a²+h²)^(3/2)였지만, 전위는 √(a²+h²)(1제곱)예요 — 전위는 거리 1제곱, 전계는 한 차수 더. ③④처럼 분모가 (a²+h²) 1제곱(루트 없음)이면 틀려요.

거리 의존성 정리: ① 무한 직선전하 전계 ∝ 1/r(1제곱 반비례, 맞음), ② 구도체(점전하처럼) 전계 ∝ 1/r²(거리 제곱), ③ 전기쌍극자 전계 ∝ 1/r³(쌍극자는 한 차수 더 빠르게 감쇠), ④ 전기쌍극자 전위 ∝ 1/r². 즉 r의 1제곱 반비례는 ①뿐이에요. 정리하면: 점전하 전위 1/r·전계 1/r², 선전하 전계 1/r, 쌍극자 전위 1/r²·전계 1/r³. 차수가 다 다르니 표로 외워두면 좋아요. 2024년 2회 18번·2025년 1회 5번에서 무한직선 1/r을 봤죠.

정전에너지는 전계가 있는 곳에 에너지 밀도 w=½εE²로 분포해요. 구도체에 전하를 주면: 도체 내부는 정전 평형이라 전계 = 0 → 에너지 없음. 도체 표면 바깥(외부 공간)은 전계가 존재(E=Q/4πε₀r²) → 에너지가 외부에 분포. 그래서 정전에너지는 도체 표면에서 시작해 외부 공간으로 퍼져 있어요(④). ①(내부에만)·③(내외 모두)은 내부 전계가 0이라 틀려요. 전하는 표면에 모이지만, 에너지는 전계가 있는 외부 공간에 저장된다는 게 핵심 — "전하 위치 ≠ 에너지 위치"예요.

전하 분포별 거리 의존성: 점전하 1/r², 선전하 1/r, 무한 평면 거리 무관(σ/2ε₀). R 들어간 ③④는 함정. 여러 회차 반복 단골이에요(2023년 3회·2024년 3회·2025년 1회).

무한 평면도체 영상법: 도체 평면 반대쪽 같은 거리에 −Q(크기 같음, 부호 반대)를 놓으면 도체 표면 효과를 정확히 대체해요. 평면 = −Q(크기 같음), 구도체 = −(a/d)Q(크기 줄어듦)가 핵심 차이예요(2024년 2회 7번·3회 7번에서 구도체 −(a/r)Q를 봤죠). 평면은 거울처럼 같은 크기 상이 비치는 거예요. 18번(이 회차)에서 구도체 영상전하 위치 a²/d를 다시 다뤄요.

경계면에서 지켜지는 규칙이 방향에 따라 달라요. 수직 성분은 D(전속밀도)가 연속, 수평(접선) 성분은 E(전계)가 연속입니다. 이 문제는 수직 입사라 D가 같아야 해요. 공기 쪽 D₀ = ε₀E₀, 유전체 쪽 D = ε₀ε_r·E. 둘이 같으니 ε₀E₀ = ε₀ε_r·E → E = E₀/ε_r. 유전체가 전기장을 약화시키는 셈인데, 이는 유전체 내부에 분극 전하가 생겨 외부 전계를 일부 상쇄하기 때문이에요.

경계조건은 1회 17번에서 정리했어요. 수직 성분은 D 연속, 수평(접선) 성분은 E 연속. 입사각 0°(수직 입사)면 전계가 경계면에 수직이라 D가 연속이에요: ε₁E₁ = ε₂E₂. 이걸 정리하면 E₂/E₁ = ε₁/ε₂. 유전율이 큰 쪽(ε₂ 큼)으로 들어가면 전계가 작아지죠. 1회 17번이 "E = E₀/ε_r"였던 것과 같은 원리(D 연속)인데, 여기선 두 유전체 사이라 ε₁/ε₂ 비율로 나옵니다.

경계조건 두 가지를 각도로 적용해요. 법선과 이루는 각이 θ라면, 접선 성분 = E sinθ, 법선 성분 = E cosθ예요. 접선 성분은 E가 연속: E₁sinθ₁ = E₂sinθ₂. 법선 성분은 D가 연속: ε₁E₁cosθ₁ = ε₂E₂cosθ₂. 이 문제는 E₂를 sin으로 묻고 있으니 접선 조건을 써요: E₂ = E₁·sinθ₁/sinθ₂. 2회 13번은 수직 입사(θ=0)라 cos만 남았던 특수한 경우였고, 여기선 비스듬해서 sin(접선) 조건이 등장합니다.

경계조건의 핵심은 "성분별로 다르다"예요. ③ 전속밀도 D의 법선(수직) 성분은 연속, ④ 전계 E의 접선(평행) 성분은 연속. 이 두 가지가 지켜지면서, 나머지 성분은 유전율 차이 때문에 값이 바뀌어요. 그 결과 전계·전속밀도의 전체 방향이 경계에서 꺾입니다(② 굴절, 빛이 유리에서 꺾이듯). 따라서 ①의 "전계와 전속밀도가 불변"은 틀려요 — 일부 성분만 연속이고 전체는 굴절하니까요. (3회 1번에서 본 sin·cos 경계조건의 개념 버전이에요.)

분극에는 종류가 있어요. 전자분극(①): 외부 전계로 원자의 전자운이 핵에 대해 살짝 밀려 +−가 분리됨 — 가장 기본. 이온분극(②): 화합물에서 +이온과 −이온이 서로 반대로 변위. 배향(쌍극자)분극(④): 원래 있던 영구 쌍극자(예: 물 분자)가 전계 방향으로 줄을 섬. 문제가 "전자분극"을 콕 집었으니, 전자운–핵의 변위인 ①이 답이에요. 분극의 이름과 원인을 짝지어 외우면 됩니다.

여기서 θ는 법선과 전계가 이루는 각이에요. 그러면 접선 성분 = E·sinθ, 법선 성분 = E·cosθ(또는 D·cosθ). 경계조건: 접선 E 연속 → E₁sinθ₁ = E₂sinθ₂, 법선 D 연속 → D₁cosθ₁ = D₂cosθ₂. 이 둘을 나누면 굴절 법칙 tanθ₁/tanθ₂ = ε₁/ε₂가 나와요(D=εE 대입). 핵심은 (1) sin이 접선(E 연속), cos가 법선(D 연속), (2) tan 비가 ε 비와 같은 방향(ε₁/ε₂). 2023년 3회 1번은 sin만, 2024년 1회 10번은 개념만 다뤘는데, 여기선 세 식을 한꺼번에 묻는 종합 문제예요.

그림처럼 두 유전체가 직렬(전기장이 차례로 통과)이면, 경계에서 전속밀도 D가 연속이에요(법선 성분 연속). D = ε₁E₁ = ε₂E₂ → 4E₁ = 2E₂ → E₂ = 2E₁, 즉 2E₁ = E₂. 유전율이 큰 ε₁=4 쪽에서 전계 E₁이 작고, 작은 ε₂=2 쪽에서 E₂가 커요(D가 같으니 E는 ε에 반비례). 2023년 2회 13번·2025년 3회 15번 경계조건과 같은 "D 연속 → εE 같음" 원리예요. 직렬은 D 연속, 전계는 ε에 반비례라는 게 핵심.

경계조건의 핵심은 "성분별로 다르다"예요. ③ 전속밀도 D의 법선 성분 연속, ④ 전계 E의 접선 성분 연속(이 둘이 지켜짐). 나머지 성분은 유전율 차이로 값이 바뀌어, 전계·전속밀도 전체 방향이 경계에서 꺾여요(② 굴절, 빛이 유리에서 꺾이듯). 따라서 ①의 "불변"은 틀려요 — 일부 성분만 연속이고 전체는 굴절. 2024년 2회 18번·2024년 1회 10번과 동일 문제고, 2025년 1회 19번에서 이 경계조건의 수식(sin·cos·tan)을 봤어요.

유전체 경계의 영상법 결과로, 전하는 유전율이 작은 영역 쪽으로 끌리는 힘을 받아요(에너지가 낮아지는 방향). 전하가 ε₁ 영역에 있을 때: ε₁>ε₂면 더 작은 ε₂ 쪽(경계 너머)으로 끌려가려 하는데, 전하 입장에선 자기가 있는 ε₁ 영역의 경계로부터 밀려나는 셈이라 반발력으로 나타나요(①). 반대로 ε₁<ε₂면 흡인력. 그래서 "값에 상관없이"라는 ③④는 틀려요 — 유전율 대소 관계에 따라 방향이 달라지니까요. 핵심: "전하는 작은 유전율 쪽으로 끌린다 → ε₁>ε₂면 경계서 반발."

전속밀도의 정의 D = ε₀E + P(진공 몫 ε₀E + 유전체 분극 P)를 P에 대해 풀면 P = D − ε₀E예요. D는 자유전하가 만드는 전체, ε₀E는 진공이라도 생겼을 몫, 그 차이가 유전체의 분극 기여분(P)이에요. 2025년 1회 18번에서 P=D(1−1/ε_s) 형태를 봤는데, 그게 이 P=D−ε₀E를 D=ε₀ε_sE로 변형한 거예요(같은 식). ③④처럼 ε₀를 밖으로 묶으면 차원이 안 맞아 틀려요.

전속밀도 D는 유전율이 큰 매질로 더 많이 모이는 성질이 있어요(D가 ε에 비례하니까). 그림에서 전속선이 구 내부(ε₁)로 휘어 들어가 조밀하게 모인다면, 구의 유전율 ε₁이 바깥(ε₂)보다 크다는 뜻이에요(ε₁>ε₂). 마치 빛이 굴절률 큰 매질로 꺾여 들듯이요. 경계조건(2025년 1회 19번 굴절 법칙)의 시각적 버전이에요. "전속은 ε 큰 쪽으로 모인다"가 핵심.

앙페르 법칙(H·둘레 = 둘러싼 전류)으로 영역별로 보면 돼요. 내부 도체 안(r<a): 둘러싼 전류가 r²에 비례해 커지니 H ∝ r (거리에 비례, ②맞음). 두 도체 사이(a<r<b): 전류 I 전체를 둘러싸니 H = I/(2πr), 거리에 반비례(④맞음). 외부 도체 안(b<r<c): 돌아오는 −전류가 점점 더해져 둘러싼 알짜 전류가 줄어들어요 → H가 거리 따라 감소(③ 틀림, '일정'이 아님). 바깥(r>c): 왕복 전류가 완전히 상쇄돼 알짜 0 → H=0(①맞음). 그래서 ③만 거짓이에요.

평행판 콘덴서 용량 C = εS/d예요. 면적 S가 넓을수록 전하를 많이 담아 용량↑, 간격 d가 좁을수록 전기장이 강해 용량↑(반비례), 유전율 ε이 클수록 용량↑. 진공이면 ε=ε₀, 유전체를 채우면 ε=ε₀ε_r(비유전율 배). 그래서 C = ε₀ε_r·S/d. ②는 ε₀가 빠졌고(비유전율만으론 단위가 안 맞음), ③④는 S와 d가 뒤집혀(분모·분자 반대) 틀렸어요. 가장 기본 공식이라 반드시 외워야 합니다.

동심구(구 안에 구) 콘덴서 용량은 C = 4πε / (1/a − 1/b)예요(a=내구, b=외구 반지름). a = 1/(4π) cm, b = 1/π cm를 넣으면 1/a = 4π, 1/b = π라서 1/a − 1/b = 3π. C = 4πε/(3π) = (4/3)ε. 그런데 반지름이 cm로 주어졌으니 m로 바꾸면 ×10⁻²가 곱해져, 최종 C = (4/3)×10⁻²(ε 포함). 공식 형태는 기호식이라 외우면 고를 수 있지만, cm→m 환산을 놓치면 ①②(10⁻² 없는 값)로 빠지는 게 함정이에요.

구 도체에 전하 Q를 주면 표면 전위가 V = Q/(4πε₀a)예요. 정전용량 정의 C = Q/V = Q ÷ [Q/(4πε₀a)] = 4πε₀a. 반지름이 클수록 용량이 커지죠(같은 전하라도 큰 구는 전위가 낮아 더 많이 담을 수 있음). 분모로 가는 ③④는 "구가 클수록 용량이 작아진다"는 말이 돼서 틀려요 — a는 분자에 있어야 합니다. 동심구 콘덴서(3회 18번)에서 외구가 무한대로 가면 이 독립구 공식이 됩니다.

핵심은 전하 보존이에요. 처음 C에 충전된 전하 Q = CV. 여기에 빈 4C를 병렬 연결하면, 전하는 새로 안 생기고 그대로 Q. 병렬이라 총 용량은 더해져 C+4C = 5C. 새 전압 V' = Q/C_total = CV/(5C) = V/5. 즉 전하는 그대로인데 담을 그릇(용량)이 5배 커져서 전압이 1/5로 낮아진 거예요. 기호식이라 숫자 없이 비율로 바로 나와요.

동축 원통은 안쪽 도체(반지름 a)와 바깥 도체(반지름 b) 사이에 전하를 저장해요. 가우스 법칙으로 두 도체 사이 전위차를 구하면 V ∝ ln(b/a)가 나오고(원통이라 로그 형태), 정전용량 C = Q/V = 2πε/ln(b/a)가 됩니다. 유전율 ε에 비례(분자), 반지름 비의 로그에 반비례(분모). 평행판(εS/d)과 달리 원통이라 로그가 등장하는 게 특징이에요. 11번 동축 인덕턴스(μ가 들어감)와 짝으로 기억하면 좋아요 — 정전용량은 ε, 인덕턴스는 μ.

간격을 절반씩 나눠 보면, 위층은 공기(두께 d/2), 아래층은 유리(두께 d/2)예요. 전기장이 두 층을 차례로 지나니 직렬 연결입니다. 각 층 용량: 공기층 C₁ = ε₀S/(d/2) = 2ε₀S/d = 2C, 유리층 C₂ = ε₀ε_s·S/(d/2) = 2ε_s·C. 직렬 합성 1/C' = 1/C₁ + 1/C₂ → C' = C₁C₂/(C₁+C₂) = (2C·2ε_sC)/(2C+2ε_sC) = 2ε_s·C/(1+ε_s). 직렬이라 역수합을 쓰는 게 핵심이에요. (3회 4번 직렬 콘덴서와 같은 직렬 합성 원리.)

동축 케이블 두 도체(a, b) 사이 공간의 자속을 적분하면 인덕턴스 L = (μ₀/2π)·ln(b/a)가 나와요(원통이라 로그 형태). 1회 14번 동축 정전용량(C=2πε/ln(b/a))과 짝이에요 — 정전용량은 ε가 분자, 인덕턴스는 μ가 분자. 둘 다 ln(b/a)가 들어가지만, 용량은 2πε를 통째로 분자에, 인덕턴스는 μ₀를 2π로 나눠 분자에 둬요. 외반지름 c는 이 계산에서 안 쓰는 미끼 정보예요(두 도체 사이만 보면 됨).

동축 콘덴서 용량 C = 2πε/ln(b/a) (1회 14번 공식). 반지름 변경: a→3a, b→3b면 b/a → 3b/3a = b/a로 비율이 그대로예요. ln(b/a)도 안 변하니 반지름 3배는 용량에 영향 없음! 유전체 변경: 공기(ε_r=1)→유전체(ε_r=3)면 ε이 3배 → 용량 3배. 두 효과를 합치면 C₂ = 3C₁. 핵심은 "비율(b/a)이 같으면 로그가 안 변한다 → 반지름 동시 확대는 무효, 유전율만 작용"이에요.

동심구 콘덴서 C = 4πε/(1/a−1/b). 여기서 a, b가 분수 형태로 주어져 계산하면 4/3이 나오고, 반지름이 cm 단위라 m로 바꾸면 ×10⁻²이 곱해져 최종 (4/3)×10⁻². 핵심은 (1) 동심구 공식 4πε/(1/a−1/b), (2) cm→m 환산(×10⁻²)을 놓치지 않는 것. 2023년 3회 18번과 거의 같은 구조(거기서도 cm 환산이 함정이었죠). 평행판(εS/d)과 달리 동심구는 (1/a−1/b) 형태예요.

"극판과 평행하게 절반"이면 위층 공기(두께 d/2), 아래층 유전체(두께 d/2)가 직렬이에요. 두께 절반이면 각 층 용량 2배: 공기층 C₁ = 2C₀, 유전체층 C₂ = 2ε_r·C₀. 직렬 합성: 1/C = 1/(2C₀) + 1/(2ε_rC₀) = (1/2C₀)(1 + 1/ε_r) → C = 2C₀/(1+1/ε_r). 2024년 1회 19번·2025년 1회 6번과 같은 직렬 원리예요. 만약 "극판에 수직"으로 절반을 나누면 병렬(C가 더해짐)이라 결과가 달라져요 — '평행/수직'을 꼭 확인하세요.

구 도체 전위 V = Q/(4πε₀a)에서 C = Q/V = 4πε₀a. 반지름 클수록 용량 큼(a는 분자). 분모로 가는 ③④는 틀림. 동심구에서 외구가 무한대면 이 독립구 공식이 돼요. 2024년 1회 7번과 같은 문제.

위 공기(d/2), 아래 유리(d/2) 직렬. 두께 절반이라 각 층 용량 2배: 공기 2C, 유리 2ε_sC. 직렬 합성 C' = (2C·2ε_sC)/(2C+2ε_sC) = 2ε_s·C/(1+ε_s). 2024년 1회 19번과 같은 문제, 2025년 1회 6번(숫자판)과 세트.

직렬 합성저항 R = R₁+R₂. 온도가 t℃ 오르면 각 저항이 Rᵢ(1+αᵢt)로 변해요. 합성저항 변화: R(1+αt) = R₁(1+α₁t)+R₂(1+α₂t). 정리하면 합성 온도계수 α = (α₁R₁+α₂R₂)/(R₁+R₂) — 각 온도계수를 저항으로 가중평균한 값이에요. 핵심은 αᵢ에 자기 Rᵢ를 곱하는 것(①④처럼 R을 엇갈리게 곱하면 틀림). 큰 저항 쪽 온도계수가 더 큰 비중을 차지해요.

전하 보존이 핵심. 처음 Q=CV, 빈 4C 병렬 연결 시 전하 그대로, 용량은 C+4C=5C. V'=Q/5C=CV/5C=V/5. 전하 그대로인데 그릇 5배 커져 전압 1/5. 2024년 1회 13번과 같은 문제.

동축 케이블 외부 인덕턴스 L = (μ₀/2π)·ln(b/a). 계수 계산: μ₀/2π = (4π×10⁻⁷)/(2π) = 2×10⁻⁷. 그래서 L = 2×10⁻⁷·ln(b/a)[H/m]. 2024년 2회 11번에서 (μ₀/2π)ln(b/a) 형태를 봤는데, 여기선 그 계수를 숫자(2×10⁻⁷)로 계산한 거예요. 내부 인덕턴스는 무시하라 했으니 외부 항만 쓰면 됩니다. 1회 14번 동축 정전용량(2πε/ln(b/a))과 짝 — 인덕턴스는 μ, 정전용량은 ε.

정전응력은 "충전된 도체 표면이 바깥으로 밀려나려는 단위면적당 힘"이에요. 공식 f = ½ε₀E² = D²/(2ε₀) = ½εE·E 형태입니다. 구 도체 표면 전계는 가우스 법칙으로 E = Q/(4πε₀a²). 이걸 제곱하면 E² = Q²/(16π²ε₀²a⁴). f = ½ε₀ × Q²/(16π²ε₀²a⁴) = Q²/(32π²ε₀a⁴). ε₀가 하나 약분돼서 분모에 ε₀가 한 개만 남는 게 포인트예요.

단계별로 보기

구 표면 전계: E = Q/(4πε₀a²).

제곱: E² = Q²/(16π²ε₀²a⁴).

정전응력 공식: f = ½ε₀E².

대입: f = ½ε₀ × Q²/(16π²ε₀²a⁴) = Q²/(32π²ε₀a⁴). (½×ε₀로 ε₀ 하나 약분, 16×2=32)

구 도체의 영상법이에요(3회 7번에서 다룬 그 개념). 접지된 반지름 a 도체구 밖, 중심에서 r 거리에 +Q가 있으면, 구 안쪽에 영상전하 Q' = −(a/r)Q가 중심에서 a²/r 위치에 생긴 것과 같아요. 접지구에 유도되는 총 전하는 이 영상전하와 정확히 같아서 −(a/r)Q. 평면 도체(영상전하 −Q, 거리 같음)와 달리, 구 도체는 크기가 (a/r)배로 줄어든 영상전하예요. r이 a보다 크니(점전하가 구 밖) a/r < 1이라 |유도전하| < Q입니다.

접지(어스)의 본질은 "전위 기준점 만들기"예요. 지구는 워낙 커서 정전용량 C가 거대한데, V=Q/C에서 C가 매우 크면 전하 Q가 좀 들고 나도 전위 V는 거의 0으로 일정해요. 이 안정된 0V를 기준 삼아 모든 전위를 재고, 누설 전류를 흘려보내 안전을 확보합니다. ③의 "전위를 무한대로 본다"는 틀려요 — 무한대가 아니라 0(일정)으로 봅니다. ②"전류 잘 통함"도 접지의 부수 효과일 뿐 근본 이유는 ④(용량 큼 → 전위 일정).

구 도체 영상법(2회 7번과 짝)이에요. 접지 구도체 밖 거리 d에 점전하 Q가 있으면, 영상전하 Q' = −(a/d)Q가 구 내부 중심에서 a²/d 위치에 생겨요. ① 내부에 존재(맞음), ② 점전하–중심 직선상에 위치(맞음), ④ 위치는 a, d로 결정(맞음). ③만 "크기 같고 부호 반대"라 했는데, 구도체는 크기가 (a/d)배로 줄어든 −(a/d)Q예요 — 평면 도체(−Q, 크기 같음)와 헷갈린 함정이에요. 2회 7번에서 유도 총전하가 −(a/r)Q였던 것과 같은 맥락입니다.

접지 구도체(반지름 a) 밖 거리 d에 점전하 Q가 있으면, 영상전하 Q'=−(a/d)Q가 점전하와 중심을 잇는 직선상, 중심에서 a²/d 위치(구 내부)에 생겨요. 점전하가 x축(d,0,0)에 있으니 영상전하도 x축상 (a²/d, 0, 0). d>a이므로 a²/d < a라 구 내부에 들어가요(맞는 위치). 2024년 2회 7번(유도전하 −(a/r)Q)·2024년 3회 7번(영상전하 성질)에서 본 구도체 영상법의 위치 버전이에요. 핵심은 (1) 점전하–중심 직선상(x축), (2) 거리 a²/d.

자기저항은 R = l/(μ·면적) 꼴이에요(전기저항 R=ρl/A와 닮은꼴). 공극이 없을 때 R₀ = l/(μS). 공극이 생기면 철심 부분(길이 l−l_g≒l, 투자율 μ)과 공극 부분(길이 l_g, 투자율 μ₀)이 직렬로 더해져요: R = l/(μS) + l_g/(μ₀S). 처음 대비 배수 = R/R₀ = 1 + [l_g/(μ₀S)] ÷ [l/(μS)] = 1 + (l_g·μ)/(μ₀·l). 핵심은 공극의 투자율이 μ₀라 철심 μ보다 수백~수천 배 작다는 점. 그래서 아주 얇은 공극도 큰 저항을 더합니다.

B = μH라는 관계를 기억하면 세 형태가 다 연결돼요. 출발은 ½BH입니다. 여기에 B=μH를 넣으면 ½(μH)H = ½μH². 반대로 H=B/μ를 넣으면 ½B(B/μ) = B²/(2μ). 세 표현이 같은 값을 다르게 쓴 것뿐이에요. 보기 ①은 H²/(2μ)인데, 올바른 형태는 H²×μ÷2(=½μH²)이지 H²를 μ로 나누는 게 아니에요 — μ의 위치가 틀렸습니다. 전계 쪽 에너지 밀도 ½εE²와 짝을 이루니 같이 외우면 좋아요.

도선의 인덕턴스는 "내부"와 "외부"로 나뉘는데, 이 문제는 도체 내부만 묻고 있어요. 내부 인덕턴스는 도체 굵기와 무관하게 단위 길이당 L_내부 = μ/(8π)로 딱 정해진 값이에요(전류가 단면에 고루 퍼졌다는 가정). 저장 에너지는 W = ½LI² = ½ × μ/(8π) × I² = μI²/(16π). ½과 8π가 만나 16π가 되는 게 포인트. 외부 인덕턴스는 거리에 따라 로그로 변하지만, 내부는 이렇게 고정값이라 외우기 쉬워요.

솔레노이드(원통에 코일 감은 것) 내부 자계는 H = nI(단위 길이당 권수 × 전류), 자속밀도 B = μnI. 단면적 S=πa²를 통과하는 자속 Φ = BS = μnI·πa². 단위 길이당 쇄교 자속은 권수 n을 또 곱해 nΦ = μn²I·πa². 인덕턴스 L = nΦ/I = μn²πa². 권수 n이 두 번(자계에서 한 번, 쇄교에서 한 번) 들어와 n²이 되는 게 핵심이에요. 면적은 πa²이라 반지름이 a²로 들어가고요.

B = μH 한 줄만 알면 세 형태가 다 연결돼요. 기본형 ½BH에 B=μH를 넣으면 ½μH², H=B/μ를 넣으면 B²/(2μ). 전부 같은 값입니다. 보기 ②는 H²/(2μ)인데 올바른 건 ½μH²(μ를 곱함)이라 μ 위치가 틀렸고, ③ μB²/2는 B²이면 분모에 μ가 와야지(B²/2μ) 곱하면 안 돼요. ④는 B의 차수가 안 맞습니다. 전계 쪽 ½εE²·½DE와 짝으로 외우면 좋아요.

문제가 "에너지 밀도(J/㎥)"를 묻는 게 핵심이에요. ①②의 ½LI²·LI²는 코일에 저장된 전체 에너지(J)지 밀도가 아니에요. 단위 부피당 에너지(밀도)는 w = ½μH² = ½BH = B²/(2μ) 형태(1·2회에서 반복). 진공이면 μ=μ₀이라 ½μ₀H². L·I 같은 회로량이 아니라 H(자계)·μ로 표현된 ③이 '밀도'에 맞는 답이에요.

토로이드는 도넛 모양 철심에 코일을 감은 거예요. 인덕턴스 L = μN²S/(2πr) (N=권수, S=단면적, r=평균 반지름, 2πr=도넛 둘레=자기회로 길이). 권수 N은 제곱(N²)으로 들어가요(2회 10번 솔레노이드에서도 봤듯, 코일류 인덕턴스는 거의 항상 권수 제곱). 단면적 S에 비례(자속 많이 통과), 둘레 2πr에 반비례(길수록 자기저항 커져 인덕턴스 작아짐). 그래서 "S·N² 비례, r 반비례" = ③. ①은 N이 1제곱이라 틀리고, ④는 r이 제곱이라 틀려요(r은 1제곱).

순서대로 가요. 자계 H = NI/l(단위 길이당 기자력 = 권수×전류÷길이). 자속밀도 B = μH = μNI/l. 자속 Φ = B×단면적 = μ(NI/l)S. 결국 자속은 "투자율 × 권수 × 전류 × 단면적 ÷ 길이"예요. 분자에 μ·N·I·S, 분모에 l. NI(기자력)는 분자, 길이 l은 분모(길수록 자기저항 커져 자속 줄어듦)라는 게 핵심이에요.

인덕턴스 H의 단위는 여러 식에서 나와요. ② Wb/A: Φ=LI → L=Φ/I. ③ J/A²: W=½LI² → L=2W/I². ① Ω·s: e=L(dI/dt)에서 L=e·dt/dI = V·s/A = Ω·s(V/A=Ω). 모두 헨리(H)와 같아요. ④ N/(A·m)은 힘÷(전류·길이) = 자속밀도 B의 단위(F=BIl에서 B=F/(Il))라 인덕턴스가 아니에요. (2023년 2회 2번 인덕턴스 단위 문제와 같은 유형 — 거기선 J/(A·s)가 가짜였죠.)

B = μH 한 줄로 세 형태가 다 연결돼요: ½BH(기본) = ½μH²(B=μH 대입) = B²/(2μ)(H=B/μ 대입). 전부 같은 값. 보기 검토: ① B²/(2μ) 맞음, ② H²/(2μ)는 μ가 분모에 잘못 옴(올바른 건 ½μH², μ를 곱함), ③ ½μH는 H가 1제곱이라 틀림(½μH²이어야), ④ BH는 ½ 누락. 2023년 2회 12번에서는 ½BH가 정답이었고, 여기선 같은 공식의 B²/2μ 형태를 묻는 거예요. 세 형태를 다 알면 어떤 보기가 나와도 잡아요.

전기회로와 자기회로는 쌍둥이처럼 대응해요. 기전력 V ↔ 기자력 NI, 전류 I ↔ 자속 Φ, 저항 R ↔ 자기저항 R_m, 그리고 도전율 σ ↔ 투자율 μ. 도전율은 R = l/(σA)에서 "잘 통하는 정도", 투자율은 R_m = l/(μA)에서 "자속이 잘 통하는 정도"로 같은 자리예요. 둘 다 분모에 들어가 클수록 저항(자기저항)이 작아져요. 5번 자기저항(투자율 반비례) 문제와 짝이에요 — 자기저항 R_m = l/(μA)에서 μ가 도전율 σ 자리에 있는 걸 확인하면 ③이 보여요.

자기저항 R_m = l/(μA) (l=길이, μ=투자율, A=단면적). 전기저항 R = l/(σA)와 똑같은 형태예요(2번 카드의 대응). 각 항 검토: ① 투자율 μ에 반비례(분모, 맞음), ② 단면적 A에 반비례(분모인데 ②는 '비례'라 틀림), ③ 길이 l에 비례(분자인데 ③은 '반비례'라 틀림), ④ 길이는 1제곱(제곱 아님)이라 틀림. 핵심은 "길이 비례, 단면적·투자율 반비례". 길수록 자속 통과 힘들고(저항↑), 굵고(A↑) 투자율 좋을수록(μ↑) 잘 통해요(저항↓).

자기저항 R_m = l/(μA): 길이 l에 비례, 단면적 A·투자율 μ에 반비례. ① 단면적 A는 반비례(분모인데 '비례'라 틀림), ② 투자율 μ 반비례(맞음), ③ 길이 l은 비례('반비례'라 틀림), ④ 길이 1제곱(제곱 아님). 2025년 2회 5번과 완전히 같은 문제예요. "길이 비례, 단면적·투자율 반비례"를 R_m=l/(μA) 형태로 외워두면 매번 잡아요.

환상코일 인덕턴스 L = μN²S/l. 권수를 2배(N→2N)로 하면 N²이 (2N)²=4N²로 4배가 돼요. L을 그대로 유지하려면 다른 항으로 4배를 상쇄해야 해요: 단면적 S를 1/4로(②, 분자에 있으니 1/4면 L 1/4 → 4배와 상쇄). ① 길이 2배는 L을 ½로만 만들어 부족(4배를 못 상쇄), ③ 비투자율 1/2도 ½만, ④ 전류는 L에 영향 없음(L은 형상·재질로만 결정). 그래서 정확히 4배를 상쇄하는 ②(단면적 1/4)가 답. 핵심은 "N² 4배 → S 1/4로 상쇄"예요.

"밀도(J/㎥)"가 핵심. ①②의 ½LI²·LI²는 전체 에너지(J)지 밀도가 아니에요. 밀도는 w=½μH²=½BH=B²/2μ, 진공이면 ½μ₀H². 2024년 1회 3번과 같은 문제. 단위(J vs J/㎥)로 구분.

L = μN²S/l: 권수 N²에 비례(②맞음), 투자율 μ에 비례(①'반비례'는 틀림), 단면적 S에 비례(④'반비례'는 틀림), 자로 길이 l에 반비례(③'비례'는 틀림). 코일 인덕턴스는 거의 항상 권수 제곱(N²)이에요(2024년 1회 20번 토로이드, 2025년 3회 20번에서도). "L=μN²S/l: N²·μ·S 비례, l 반비례"로 외우면 ②가 보여요.

인덕턴스 H의 여러 표현: ③ Wb/A(L=Φ/I), ① J/A²(W=½LI²→L=2W/I²), ④ V·s/A(e=L·dI/dt→L=V·s/A=Ω·s). 모두 헨리예요. ② J/(A·s)는 차원이 안 맞아 인덕턴스가 아니에요(W·s 같은 다른 양). 2024년 3회 11번에서는 N/(A·m)이 가짜였는데, 여기선 J/(A·s)가 가짜예요. 진짜 셋(Wb/A, J/A², V·s/A)을 알면 가짜가 보여요.

유한 길이 직선 도선이 만드는 자계를 비오–사바르 법칙으로 구하고, 정사각형의 네 변을 더한 결과가 H = 2√2·I/(πl)이에요. 중심에서 각 변까지 거리는 l/2이고, 각 변이 보이는 각도까지 계산해 4배 하면 이 값이 나와요. 정다각형 중심 자계는 변 수에 따라 계수가 달라지는데(삼각형·정사각형·육각형 등), 정사각형은 2√2/π로 기억하면 됩니다. 유도는 복잡하지만 결과 공식만 외우면 기호식 보기에서 바로 골라요.

비오–사바르 법칙은 "전류 요소가 만드는 자계"를 알려주는데, 전류 대신 운동하는 점전하(q가 v로 이동 = 전류 효과)에 적용한 형태예요. H = qv·sinθ/(4πr²). 분자에 q와 v가 곱으로 들어가고(전하가 크고 빠를수록 자계 강함), 분모는 거리 제곱 r²(멀수록 약해짐), sinθ는 운동 방향과 관측점 사이 각(나란하면 θ=0이라 자계 0, 수직이면 최대). q나 v가 분모로 가면(①②④) 틀려요 — 둘 다 분자입니다.

원형 코일 중심의 자계는 H = I/(2r)예요(비오–사바르 법칙 결과). 반원은 원의 딱 절반이니 자계도 절반: H = ½ × I/(2r) = I/(4r). 직선 부분(지름)은 중심을 향하거나 중심을 지나가서 자계 기여가 0이라 무시해요. 그래서 곡선(반원)만 계산하면 됩니다. 핵심은 "원 I/2r → 반원은 ½ → I/4r"이에요.

네 변이 각각 중심에 만드는 자계를 비오–사바르로 구해 4배 한 결과가 H = 2√2·I/(πl)이에요. 정다각형 중심 자계는 변 수마다 계수가 다른데, 정사각형은 2√2/π로 기억하면 됩니다. 2023년 3회 6번과 글자까지 같은 문제라, 세트로 익히면 두 회차를 한 번에 잡아요.

원형 코일 중심 자계 H = NI/(2a) (N=권수, I=전류, a=반지름). N=1, I=1이니 H = 1/(2a). 1회 5번 반원이 I/(4r)이었던 건 이 원형 값의 절반이라서예요(반원 = 원의 ½). 무한장 직선(H=I/2πr)과 헷갈리지 마세요 — 원형 코일 중심은 분모에 π가 없는 2a, 직선은 2πr이에요.

비오–사바르 법칙 dH = (I·dl·sinθ)/(4πr²)이에요. 핵심 비례 관계: 전류 I에 비례(전류↑ → 자기장↑), 거리 r의 제곱에 반비례(멀수록 1/r²로 약해짐). 점전하의 쿨롱 법칙(전계 ∝ Q/r²)과 형태가 닮았어요 — 거리 제곱 반비례는 "한 점에서 퍼져나가는" 양들의 공통 특징이에요. 1·2·3회 여러 문제(원형 코일 I/2a, 무한직선 I/2πr 등)가 다 이 법칙에서 나와요. 비례·반비례 방향만 정확히 기억하면 ①이 바로 보여요.

세 변이 각각 중심에 만드는 자계를 비오–사바르로 구해 3배 한 결과가 H = 9I/(2πl)이에요. 정다각형 중심 자계는 변 수마다 계수가 달라요: 정삼각형 9/(2π), 정사각형 2√2/π(2023년 3회 6번), 변이 많아질수록 원형 코일 값에 가까워져요. 정삼각형은 변까지 거리가 짧아(중심에 가까워) 계수가 커요. 유도는 복잡하지만 결과 9/(2π)만 기억하면 됩니다. 정사각형(2√2/π)과 헷갈리지 않게 도형별로 묶어 외우세요.

원형 코일 중심 H = I/(2r), 반원은 그 절반이라 I/(4r). 직선 부분(지름)은 중심을 향하거나 지나서 자계 기여 0이라 무시. "원 I/2r → 반원 ½ → I/4r". 2024년 1회 5번과 같은 문제.

왼손과 오른손을 짝으로 외우면 헷갈리지 않아요. 왼손법칙 = 힘 = 전동기(모터): 전류를 흘려 자기장 속에서 힘을 받아 돌아가는 기계. 오른손법칙(플레밍 오른손) = 기전력 = 발전기: 도체를 자기장 속에서 움직여 전기를 만들어내는 기계. 이 문제는 "왼손"이니 힘→전동기. 보기에서 '전동기'는 ①직류 전동기와 ③동기 전동기 둘인데, 동기 전동기는 회전 자기장 원리라 플레밍 왼손법칙을 직접 적용하는 기본 모델은 직류 전동기예요.

영상법으로 도체 평면 뒤 거리 d에 −Q가 있다고 보면, 실제 Q와 영상 −Q 사이 거리는 2d. 두 점전하 사이 인력은 F = Q²/(4πε₀(2d)²) = Q²/(16πε₀d²). 그런데 영상전하는 Q가 움직이면 같이 움직이는 가짜라, 실제 일을 계산할 땐 보통 점전하쌍 위치에너지의 절반을 취해요. 그 결과 무한대로 옮기는 데 필요한 일이 W = Q²/(16πε₀d)가 됩니다. 분모의 16과 d의 1차가 포인트예요. 1회 9번(전계 속 일)과 달리 여기선 영상법이 들어가요.

왼손법칙의 세 손가락은 F(힘, 엄지)–B(자속, 검지)–I(전류, 중지)예요. 자기장(B) 속에 전류(I)가 흐르면 힘(F)을 받는다는 게 전동기의 작동 원리죠. 이때 힘 F가 작용하는 대상은 회전하는 부분, 즉 회전자(rotor)예요. 고정자(stator)는 자기장을 만들어주는 고정된 부분이라 움직이지 않아요. 그래서 F는 "전동기 회전자가 움직이는 방향"입니다. 2회 2번에서 "왼손=힘=전동기"를 외웠으니, 여기에 "힘 받는 건 회전자"만 더하면 돼요.

왼손법칙 = 힘 = 전동기, 오른손법칙 = 기전력 = 발전기로 짝지어 외우면 끝이에요. 자기장 속 전류가 힘을 받아 도는 게 전동기(왼손), 도체를 움직여 전기를 만드는 게 발전기(오른손). 보기에서 ②④는 발전기라 오른손 소속, ③동기 전동기도 전동기지만 기본 원리 모델은 직류 전동기라 ①이 정답입니다. 이 문제는 2023년 2회 2번과 글자 그대로 같아요 — 자주 나오니 확실히 잡아두세요.

자계 속 직선도체가 받는 힘 F = BIl·sinθ (B=자속밀도, I=전류, l=길이, θ=전류와 자계 사이 각). 각 항: ① 전류 I에 비례(맞음), ② 자장 세기 B에 비례(맞음), ③ 길이 l에 비례(③은 '반비례'라 틀림), ④ sinθ에 관계(맞음 — 나란하면 θ=0이라 힘 0, 수직이면 최대). 그래서 ③만 틀려요. 2025년 1회 15번에서 이 공식(F=BIl sinθ)으로 2.6N을 계산했죠 — 거기 4요소(B·I·l·sinθ)가 다 분자에 곱으로 들어가니 길이도 비례예요.

자계 속 운동 전하는 로런츠 힘 F=qv×B를 받아요. 자계에 수직이면 이 힘이 항상 운동 방향에 수직(구심력 역할)이라 원운동을 해요. 구심력 = 로런츠 힘: mv²/r = qvB → 반지름 r = mv/(qB). 그래서 r은 자계 B에 반비례(B 크면 더 세게 휘어 반지름 작아짐), 속도 v에 비례(1제곱, ④의 '제곱'은 틀림). 핵심은 (1) 원운동(구면 아님 — ①틀림), (2) r=mv/(qB)로 B 반비례·v 1제곱 비례. 2024년 1회 4번 로런츠 힘과 연결돼요.

인물과 업적을 짝으로 정리해 둘게요. 패러데이: 전자기 유도(자속 변화 → 기전력) 발견 — 발전기의 원리. 가우스: 폐곡면 전속 = 내부 전하(가우스 법칙). 플레밍: 유도된 전류·힘의 '방향'을 정하는 왼손·오른손 법칙(발견이 아니라 방향 규칙). 노이만: 유도 법칙을 수식으로 정리(노이만 공식). 이 문제의 키워드 "자속 변화로 유도기전력 발생 원리를 발견"은 패러데이입니다. 플레밍은 '방향'만 다루지 원리 발견자가 아니에요.

패러데이 원판은 자기장 속에서 도체 원판이 회전하면 기전력이 생기는 장치예요. 전류가 생기려면 원판(도체)이 자기장을 가로지르며 움직여야 해요. ② 원판만 회전 → 전류 O. ③ 자석 축 전진·후퇴 → 자속 변화로 전류 O. ① 자석만 회전 → 자석이 축대칭이라 공간 자기장이 안 변해 전류가 미미. ④ 원판·자석이 같이 같은 속도로 회전 → 출제 기준상 상대 운동이 없어 전류 X로 봅니다. 이 문제는 해석이 까다로운 개념형이라, "같이 도는 ④가 전류 안 남"으로 결론만 기억해도 돼요.

유도기전력 e = −N(dΦ/dt)로, 자속 Φ가 변하면 생겨요. 자속 변화는 두 가지로 일어나요: (1) 자계가 시간에 따라 변하거나, (2) 회로가 자계 속에서 움직여서(면적·위치 변화로 쇄교 자속이 변함). ④는 자계가 일정해도 회로가 움직이면 자속이 변해 기전력이 생기는 '운동 기전력'이라 맞아요. ① 렌츠 법칙은 '방향'을 정하지 '크기'는 패러데이 법칙이 정함(틀림). ② 전계가 일정한 공간(자계 없음)에서 움직여도 자속 변화가 없어 기전력 안 생김(틀림). ③ 기전력은 권선수에 비례(N제곱 아님, 틀림 — 인덕턴스가 N²). 13번·15번에서 이 운동 기전력(Blv)을 숫자로 계산해요.

자속밀도는 B = rot A(벡터 포텐셜의 회전)로 정의돼요. 패러데이 법칙 rot E = −∂B/∂t에 B=rot A를 넣으면 rot E = −∂(rot A)/∂t = rot(−∂A/∂t). 양변의 rot를 비교하면 (유도분) E = −∂A/∂t가 나와요. 즉 벡터 포텐셜이 시간에 따라 변할 때 생기는 전계는 그 변화율에 마이너스를 붙인 거예요. 패러데이 법칙(자속 변화 → 전계)을 포텐셜로 표현한 형태죠. ①rot A는 전계가 아니라 B(자속밀도)예요.

와전류 손실의 인과 흐름(패러데이): ④ 시변 자속(변하는 자기장)이 철심에 유도기전력 발생 → ② 그 기전력이 철심에 와전류(소용돌이 전류)를 흐르게 함 → ① 와전류가 저항을 만나 발열(손실). 여기까지 ①②④는 맞아요. ③ "손실량이 전류밀도에 반비례"가 틀려요 — 손실은 전류가 흐르며 생기는 저항열(P=I²R)이라 전류밀도가 클수록 커져요(비례, 사실 제곱 비례). 2025년 2회 16번 와전류손(f²·B²·σ 비례)과 연결돼요. 손실은 와전류 세기에 비례한다는 게 핵심.

유도기전력 e = −N(dΦ/dt)는 자속 변화로 생겨요. ② 자계가 일정해도 회로가 자계 속에서 움직이면 쇄교 자속이 변해 기전력 발생(운동 기전력, 맞음). ① 렌츠는 '방향'(크기는 패러데이 — 틀림), ③ 기전력은 권선수에 비례(N제곱은 인덕턴스 — 틀림), ④ 전계가 일정한 공간(자계 없음)에선 자속 변화 없어 기전력 X(틀림). 2025년 1회 1번과 같은 문제인데, 거기선 정답이 ④ "자계가 일정한 공간..."이었어요 — 이번엔 같은 내용이 ②에 배치됐을 뿐. 핵심은 "자계 속 회로 운동 → 기전력"이에요.

B = rot A(자속밀도는 벡터 퍼텐셜의 회전). 패러데이 법칙 rot E = −∂B/∂t에 B=rot A 대입: rot E = −∂(rot A)/∂t = rot(−∂A/∂t). 양변 비교하면 (유도분) E = −∂A/∂t. 벡터 퍼텐셜의 시간 변화율에 마이너스를 붙인 게 유도 전계예요. 2025년 1회 8번과 같은 식이에요. ④ rot B는 전계가 아니고(앙페르 법칙 관련), ②③은 형태가 안 맞아요. "전계 = −A의 시간 변화"로 기억.

인물별 업적: 패러데이(③) 전자기 유도(자속 변화→기전력, e=−dΦ/dt), 가우스(①) 가우스 법칙(전속과 전하), 플레밍(④) 왼손·오른손 법칙(힘·기전력 방향), 노이만(②) 유도 관련 수식 기여. "시간 변화 자속 → 유도기전력"의 핵심 발견자는 패러데이예요. 유도기전력 문제(2025년 1회 1번·2025년 3회 8번)의 바탕이 되는 법칙이죠.

② E = −∂A/∂t(유도 전계, 맞음 — 2025년 1회 8번·3회 9번), ③ ∇×A = B(벡터 퍼텐셜 정의, 맞음), ④ rot E = −∂B/∂t(패러데이, 맞음). ①은 ②와 부호가 반대(마이너스 누락)라 틀려요. 벡터 퍼텐셜의 시간 변화율에 마이너스를 붙인 게 전계예요(B=rot A를 패러데이에 넣으면 −가 나옴). "옳지 않은 것"이라 부호 빠진 ①이 답이에요.

두 공식만 알면 돼요. (1) 파동 기본식: 속도 = 파장 × 주파수, 즉 v = λf → λ = v/f. (2) 매질 속 전자파 속도: v = 1/√(εμ). 진공이면 ε₀μ₀를 넣어 v = 3×10⁸(빛의 속도)이 나오는 바로 그 식이에요. 둘을 합치면 λ = v/f = 1/(f√(εμ)). 매질이 빽빽할수록(ε, μ 큼) 속도가 느려지고 파장도 짧아진다는 직관과 맞습니다.

포인팅 벡터 S = E × H는 "전자파가 1초 동안 1㎡를 통과하며 나르는 에너지(전력)"를 나타내요. 크기는 E와 H가 수직일 때 S = EH입니다(평면파는 E⊥H라 그냥 곱). 단위를 보면 [V/m]×[A/m] = [VA/㎡] = [W/㎡]로 전력밀도가 딱 맞아요. ½이 붙는 경우는 "시간평균"을 따질 때인데, 이 문제는 크기를 그냥 묻고 보기에 ½ 없는 EH가 있으니 ②. (20번 포인팅 계산 문제와 짝이에요.)

전파정수 γ는 전자파가 매질을 지날 때 "얼마나 감쇠하고(α) 얼마나 위상이 도는지(β)"를 한꺼번에 담은 값이에요(γ = α + jβ). 유도식은 γ = √(Z·Y) 꼴인데, 여기서 Z(직렬 임피던스) = jωμ, Y(병렬 어드미턴스) = σ + jωε예요. 그래서 γ = √(jωμ(σ+jωε)). σ는 도전율(전류 새는 정도), ε는 유전율, μ는 투자율. 각 기호가 제자리에 있는 ①만 맞고, 나머지는 μ·σ·ε 위치를 일부러 섞어놓은 가짜예요.

전자파가 매질을 지날 때 감쇠하는 주된 원인은 도전율 σ예요. 매질에 도전율이 있으면 전자파의 전기장이 그 안에 전류를 유도하고, 그 전류가 저항열로 에너지를 까먹어요(감쇠). 맑은 공기는 도전율이 거의 0이라 감쇠가 작지만, 빗물은 약간의 도전율이 있어 에너지를 흡수해 감쇠가 커집니다. 유전율(②)·투자율(③)은 전파 속도나 파장에 관여하지 에너지 흡수(감쇠)의 직접 원인은 아니에요. 감쇠 = 도전율로 기억하세요.

전송선로 특성 임피던스 Z₀ = √(Z/Y) = √((R+jωL)/(G+jωC))인데, 무손실이면 R=0, G=0이라 Z₀ = √(jωL/jωC) = √(L/C)(ω가 약분돼 주파수와 무관). 단위 길이당 인덕턴스 L과 정전용량 C의 비의 제곱근이에요. ②√(LC)는 위상속도(v=1/√(LC))나 전파 관련이지 임피던스가 아니고, ③은 L·C가 뒤집혔어요. "특성 임피던스 = 루트 L 나누기 C"로 기억하면 됩니다.

맥스웰 방정식에서 유도되는 파동방정식은 ∇²E = εμ·∂²E/∂t², ∇²H = εμ·∂²H/∂t²예요(E와 H가 대칭, 같은 형태). 핵심: (1) 시간 미분이 2계(∂²/∂t²) — 1계(∂/∂t, ①④)는 확산방정식이지 파동이 아니에요, (2) 계수가 εμ(E·H 둘 다 동일) — ③처럼 H에 k가 붙으면 틀림. εμ는 파동 속도와 관련(v=1/√(εμ)). 완전 유전체는 손실(도전율)이 없어 깔끔한 2계 파동방정식이 나와요. "파동 = 시간 2계 미분 + εμ 계수"로 기억.

평면파에서 E, H, 전파방향은 서로 수직이고 E×H가 전파방향(포인팅)을 가리켜요. 크기: H = E/η₀, 자유공간 고유임피던스 η₀ = 120π(≈377Ω). 그래서 H 크기 = 10³/(120π). 방향: 전파방향이 +z(ẑ, sin(ωt−βz)는 +z 진행), E는 ŷ. E×H ∝ ẑ가 되려면 ŷ×H = ẑ 방향. ŷ×(−x̂) = ẑ이므로(ŷ×x̂=−ẑ, 따라서 ŷ×(−x̂)=ẑ) H는 −x̂ 방향. 합치면 H = −(10³/120π)sin(ωt−βz)x̂. 핵심은 (1) 크기 E/120π, (2) E×H가 전파방향(+z) 되도록 H 방향 결정(−x̂).

포인팅 벡터 S = E×H는 "전자파가 1초 동안 1㎡를 지나며 나르는 에너지(전력)"예요. 평면파는 E와 H가 수직이라 크기 S = EH(단위: V/m × A/m = W/㎡). 2023년 2회 7번과 같은 문제예요(거기서도 EH가 정답). E와 H가 각각 1차로 곱해지는 게 핵심 — ② EH²·③ E²H처럼 어느 한쪽이 제곱이면 틀려요. 빛의 속도 C는 여기서 함정용 정보(포인팅 크기엔 안 들어감). "포인팅 = E×H = EH"로 기억.

열-전기 효과를 짝지어 외워요. 펠티에(②): 두 금속 접점에 전류 흘리면 발열/흡열(전류→온도). 제벡(④): 두 금속 접점에 온도차 주면 전류 발생(온도→전류, 펠티에의 반대). 톰슨(③): 같은 금속 한 종류에서 온도차+전류로 발열/흡열. 핀치(①): 전류가 자기력으로 도체를 조이는 현상(열과 무관). 문제 키워드 "다른 두 금속 + 전류 흘림 + 발열/흡열 + 방향 바꾸면 역전"은 펠티에예요. 펠티에 소자는 냉각기(전자 쿨러)에 쓰여요.

열-전기 효과 정리(2024년 3회 6번에서 다룬 그 내용): 펠티에(③) 전류→온도(전류 흘려 발열/흡열, 전자 쿨러), 지벡(②) 온도→전류(온도차로 발전, 펠티에의 반대), 톰슨(④) 같은 금속에서 온도차+전류로 발열/흡열, 볼타(①) 두 금속 접촉 시 전위차 발생. 문제 키워드 "다른 두 금속 + 전류 흘림 + 발열/흡열"은 펠티에예요. "전류를 흘리면"이 결정적 — 전류가 원인이면 펠티에, 온도차가 원인이면 지벡.

와전류손 P_e ∝ f²·B²·σ (또는 ∝ f²B²/ρ). 각 항: ① 주파수 f의 제곱(f²)에 비례(①은 '비례'=1제곱이라 틀림), ② 저항 ρ에 반비례(도전율 σ=1/ρ에 비례, 맞음), ③ 도전율 σ 클수록 큼(맞음 — 잘 통할수록 와전류 많이 흘러 손실↑), ④ 자속밀도 B의 제곱에 비례(맞음). 그래서 ①만 틀려요(f²인데 f라 함). 참고로 히스테리시스손은 f의 1제곱에 비례 — 와전류손(f²)과 헷갈리지 마세요. 변압기 철심을 얇게 적층하는 건 와전류손(저항↑로 줄임)을 줄이려는 거예요.

열-전기 효과: 펠티에(③) 전류→온도(전류 흘려 발열/흡열), 지벡(②) 온도→전류(온도차로 발전, 반대), 톰슨(④) 같은 금속에서 온도차+전류, 볼타(①) 두 금속 접촉 시 전위차. "전류를 흘리면"이 결정적 — 전류가 원인이면 펠티에. 2024년 3회 6번·2025년 1회 4번과 같은 단골이에요.